1922 yılında İnebolu kökenli bir ailenin çocuğu olarak İnebolu'da doğdu. Babasının kereste ticareti işini Samsun'a nakil etmesi nedeni ile 1927-1937 yılları arasında ilk ve orta okulu Samsun'da okudu. Daha sonra babasının Samsun'da vefat etmesi üzerine ailece İnebolu'ya döndüler. Lise tahsilini 1940 yılında Kastamonu'da tamamladı. Liseden mezun olduktan sonra girdiği İstanbul Üniversitesi Tıp Fakültesini hem çalışarak, hem okuyarak, hiç sene kaybetmeden 1946 yılında bitirdi. Askerlik ve zorunlu hekimlik hizmetini Anadolu'da tamamladıktan sonra İstanbul'a dönüp Haseki Eğitim Hastanesinde 1953-1957 yılları arasında İç Hastalıkları ( Dahiliye ) ihtisasını tamamladı. Daha sonra bu klinikte uzun yıllar Başasistanlık yaptı. Bu arada Almanya'ya giderek mesleki araştırma ve çalışmalarda bulundu, Türkiye'de yapılmaya başlanan Karaciğer iğne biyopsisini ve Karaciğer fonksiyon testlerini uygulama alanına sokan hekimlerden biri olmuştur.
Tüm bu faaliyetlerden sonra, 1957 yılında kurmuş olduğu Laleli Teşhis Kliniğindeki hizmeti daha arttırmak ve özel işlerine daha fazla zaman ayırmak için 1965 yılında Haseki Hastanesinden ayrılmıştır.
Bunun sonucunda 1966 yılında İstanbul'un ilk çağdaş laboratuvarlarından biri olan Nişantaşı Laboratuarını Tıp Fakültesinden sınıf arkadaşı Prof. Dr. Suat Vural ile birlikte kurmuşlardır.Yine aynı yıl Laleli Teşhis Kliniğini 30 yataklı özel bir hastane haline getirmiştir. Geçen yıllar Dr. Salih Osmanoğlu'nun bu meslekte; kurucu, geliştirici ve lider kişiliğini daha da göstermektedir.
1972 yılında 18 hekim arkadaşı ile beraber temelini attığı Aksaray Vatan Hastanesini 1974 yılında Türkiye'nin ilk ve en büyük 200 yataklı Özel Hastanesi olarak hizmete sunmuştur. 1981 yılında, Laleli Teşhis Kliniğinin hastane kısmını kapatmış, poliklinik kısmını Kızılay derneğine hibe etmiş ve Şişli'de iki can hekim arkadaşı ile birlikte Osmanoğlu Kliniğini kurmuştur. Halen ileri ülkelerin tıbbi şartlarına uygun, en gelişmiş metod, ekipman ve personelle sağlık hizmeti vermekte olan Osmanoğlu Hastanesinin Yönetim Kurulu Başkanıdır, çalışmaktadır, üretmektedir ve hizmet vermektedir. Aynı zamanda Türkiye'de Özel Hastaneciliğin duayenidir.
Hayatı boyunca yardım ve memleket geliştirme vakıflarında, maddi ve manevi en aktif üye olarak çalışan Dr. Salih Osmanoğlu hemşehrileri ile birlikte kurmuş olduğu İnebolu ve Çevresi Sağlık ve Eğitim Vakfı ile geçmişte ve halen yüzlerce öğrenciye burs vermiş, İnebolu Bölge Azize Ana ilkokulu, İnebolu Huzur Evini yaptırmıştır. Ayrıca, Bülent Özyürük Bölge İlköğretim okulunun yapılmasını sağlamıştır. Yine Vakıf olarak yakın tarihde Kız Öğrenci yurdu ve Kız Öğrenci Evini yapmışlardır. TBMM 2008 Üstün Hizmet Ödülüne layık görülmüştür. Bu ödül 10 Temmuz 2008 Perşembe günü Türkiye Büyük Millet Meclisinde yapılan ödül töreninde TBMM Başkanı Sayın Köksal Toptan tarafından takdim edilmiştir.
Dr. Salih Osmanoğlu evli, iki çocuğu ve dört torunu vardır. Fransızca, İngilizce ve Almanca bilmektedir.